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浮渣铲除机器人的运动学分析
摘要：本文用D-H方法在运动学分析过程中，求解本来没有唯一解的具有七个自由度的机器人系统的运动学方程。并且加以验证运动学方程的正确性。并总结出在运动方程正解求解过程中，坐标设置时应注意的问题及运动学方程求逆解的方法。
关键词： 机器人 ，运动学，D-H方法
中图分类号：TP242 文献标识码：A 文章编号：
1、前言
机器人机构的运动学是研究机器人的基础，在研究过程中不考虑产生运动涉及的力和力矩，只是涉及到运动物体的位置、速度、加速度和位置变量对时间的高阶导数。研究机器人机构运动学和动力学目的就是要建立机器人各运动构件与末端执行器在空间的位置、姿态之间的关系，建立机器人手臂运动的数学模型，为控制机器人的运动提供分析的方法和手段，为仿真研究手臂的运动特性和设计控制器实现预定的功能提供一种高效、方便的方法。
图1 浮渣铲除机器人的本体图
在运动学分析过程中，具有七个自由度的机器人系统没有唯一解【1】，这就意味着机器人可以有无穷多种方法在期望位置为末端执行器定位和定姿。为了使控制器知道具体怎么做，必须有附加的决策和程序使得机器人能够从无数种方法中选取一种。例如，采用最优程序来选择最快或最短路径达到目的地。为此计算机必须检验所有的解从中找出最快或最短的响应并执行之。这样就增加了计算负担，耗费很多时间，因此七自由度机器人在工业中一般不采用。但是，把机器人安装在一个活动的机座上，此时，机器人的机座相对于传送带或者其它参考坐标系的位置是已知的，机器人的机座的位置无需再由控制器控制，这样使机器人拥有冗余自由度。因此这种冗余自由度是无须求解的。在进行运动学分析时，机器人的自由度的个数仍然可以算作是六个，因而解是唯一的。
2、浮渣铲除机器人的运动连杆坐标系和D-H参数表的建立
浮渣铲除机器人的运动是由底座的直线运动，腰部回转运动，大臂的仰俯运动，小臂的仰俯运动、腕部的回转、仰俯、左右摆动这七个自由度组成。由于底座的直线运动是保证该机器人能够和浇注槽保持同速运动，也就是说该机器人的机座相对于它参考坐标系的位置是已知的故底座的直线运动属于冗余自由度。因此只需要研究6个自由度。
根据D-H方法，建立杆件坐标系如图2所示，由图1浮渣铲除机器人的本体图中可以看到，图2连杆坐标系腰部的回转关节的原点并不在实际位置，但在实际的计算过程中，无论关节是高一点还是低一点，机器人的运动并不会有任何差异。手腕关节有三个自由度，他们的轴线交于一点，选该点做手腕的参考点。连杆的D-H参数列于表1中。
图2 浮渣铲除机器人杆件坐标系
表1 连杆的D-H参数表
#
1 0 0 0
2 0
3 0
4 0 0
5 0 0
6 0 0
3、浮渣铲除机器人两杆间的位姿矩阵
浮渣铲除机器人的末端执行器（铲子）的变化矩阵 ，即：
即为关节变量 ， ，… 的函数。在求解运动方程过程中，出现的简写形式如下： ， 和 为 的缩写形式， 和 为 的缩写形式。算出各个连杆变换矩阵如下：
4、浮渣铲除机器人运动学方程
机器人运动学研究有两类问题：一类是给定机器人各个关节角度，要求计算机器人手爪的位置和姿态问题，称为正运动学问题；另一类是已知末端执行器的位置与姿态求机器人对于这个位姿与姿态的全部关节角，称为逆运动学问题。正问题是简单的，解是唯一的，逆问题的解是复杂的，而且具有多解性。
（Ⅰ）运动学正解
由： ， ， ， ，得出：
（1）
浮渣铲除机器人变换矩阵 ，描述了末端连杆坐标系相对基坐标系 的位姿。设末端执行器工作点位姿形式 ，因此，求出六个连杆变换之积，表示形式如下： 得出
浮渣铲除机器人变换矩阵 ，描述了末端连杆坐标系相对基坐标系的位姿。
为了校核 的正确性，令
代入式（1），得：
与图2所示的位姿情况完全一致。由此可以推断，以上建立的运动方程是正确的。
（Ⅱ）运动学逆解
在知道所有的关节变量时，可用运动学的正解确定机器人任一瞬间的位姿，也就可以知道机器人的末端执行器的位置，即杆件的位置、姿态、速度、角速度、加速度和角加速度已知，求出能实现这些要求的关节变量的位置、速度和加速度。要是期望机器人的末端放在特定的点上，并且具有特定的姿态，那么这就是逆运动学问题了。事实上，逆运动学更为重要。
运动学逆解方法可分为三类：代数法，几何法和数值解法。前两种解法的具体步骤和最终公式和机器人的具体构型有关。后一种解法是目前人们寻求位姿逆解的通解而得到的方法，由于计算量大，计算时间往往不能满足实时控制的需要。所以，浮渣铲除机器人利用代数法（反变换法）来求解浮渣铲除机器人逆运动学解。也就是用未知的连杆逆变换，左乘于方程等式两边，把关节变量分离处来，从而求解。
＝ （2）
1）求
用逆变换 左乘到方程（2）的两边，
＝
据: ＝
由矩阵方程两端的元素对应相等，得到 的解：
式中的正负号对应着 的两个可能的解。
2）求
由 和 ＝ ，矩阵方程两端的 （2、1）、（2、3）元素对应相等，求得：
＝ 或 ＝
3）求
由式 和 ＝ ，矩阵方程两端的（2、3）元素对应相等，
得到 或
4）求
由式 和 ＝ ，矩阵方程两端的 （1、4）和（3、4）元素对应相等，
得到 ＝ 或 ＝
5）求
由式式 和 ＝ ，矩阵方程两端的 （1、3）和（3、3）元素对应相等， 或
6）求
由： , 得到：
或 ，由于 已知，所以 ＝ 或 ＝
7）求
由于知道 ， 和 ，所以 可求得为： ＝ － －
至此，求出了所有的关节变量。
5、结束语
（一）通过上面的计算可知，在运动方程正解求解过程中，坐标设置时应注意以下几点：
1）使操作机处于操作的零位，由基座开始先设立固定的基础（参考）坐标系 ，其正向最好与重力加速度反向，原点在第一关节轴线上， 位于操作机工作空间的对称平面内；
2）尽量使 与 同向，原点 与 在 方向同“高”，否则关节变量 （或 ）要加初始值；
3）末端执行器坐标架的原点最好选在“手”心点上， 的正向指向（或背离）工件。
（二）对逆运动学求解进行讨论：
1） 是腰部的回转运动，与 ～ 无关，即不受其它关节的回转的影响。
2）从解的表达式中，我们可以看出， 均有两个根，所以机械臂有较多位形。这就需要进行轨迹规划，找出最优轨迹，进行控制。
（三）由逆运动学求解的过程可知，求逆解：
1）方法：等号两端的矩阵中对应元素相等。
2）步骤：利用矩阵方程进行递推，每递推一次可解一个或多于一个的变量公式。
3）技巧：利用三角方程进行置换。
4）问题：解题过程中有增根，故要根据操作机构形的可能性，选用合适的最终公式。
参考文献：
[1]（美）尼库（Sa
关键词： 机器人 ，运动学，D-H方法
中图分类号：TP242 文献标识码：A 文章编号：
1、前言
机器人机构的运动学是研究机器人的基础，在研究过程中不考虑产生运动涉及的力和力矩，只是涉及到运动物体的位置、速度、加速度和位置变量对时间的高阶导数。研究机器人机构运动学和动力学目的就是要建立机器人各运动构件与末端执行器在空间的位置、姿态之间的关系，建立机器人手臂运动的数学模型，为控制机器人的运动提供分析的方法和手段，为仿真研究手臂的运动特性和设计控制器实现预定的功能提供一种高效、方便的方法。
图1 浮渣铲除机器人的本体图
在运动学分析过程中，具有七个自由度的机器人系统没有唯一解【1】，这就意味着机器人可以有无穷多种方法在期望位置为末端执行器定位和定姿。为了使控制器知道具体怎么做，必须有附加的决策和程序使得机器人能够从无数种方法中选取一种。例如，采用最优程序来选择最快或最短路径达到目的地。为此计算机必须检验所有的解从中找出最快或最短的响应并执行之。这样就增加了计算负担，耗费很多时间，因此七自由度机器人在工业中一般不采用。但是，把机器人安装在一个活动的机座上，此时，机器人的机座相对于传送带或者其它参考坐标系的位置是已知的，机器人的机座的位置无需再由控制器控制，这样使机器人拥有冗余自由度。因此这种冗余自由度是无须求解的。在进行运动学分析时，机器人的自由度的个数仍然可以算作是六个，因而解是唯一的。
2、浮渣铲除机器人的运动连杆坐标系和D-H参数表的建立
浮渣铲除机器人的运动是由底座的直线运动，腰部回转运动，大臂的仰俯运动，小臂的仰俯运动、腕部的回转、仰俯、左右摆动这七个自由度组成。由于底座的直线运动是保证该机器人能够和浇注槽保持同速运动，也就是说该机器人的机座相对于它参考坐标系的位置是已知的故底座的直线运动属于冗余自由度。因此只需要研究6个自由度。
根据D-H方法，建立杆件坐标系如图2所示，由图1浮渣铲除机器人的本体图中可以看到，图2连杆坐标系腰部的回转关节的原点并不在实际位置，但在实际的计算过程中，无论关节是高一点还是低一点，机器人的运动并不会有任何差异。手腕关节有三个自由度，他们的轴线交于一点，选该点做手腕的参考点。连杆的D-H参数列于表1中。
图2 浮渣铲除机器人杆件坐标系
表1 连杆的D-H参数表
#
1 0 0 0
2 0
3 0
4 0 0
5 0 0
6 0 0
3、浮渣铲除机器人两杆间的位姿矩阵
浮渣铲除机器人的末端执行器（铲子）的变化矩阵 ，即：
即为关节变量 ， ，… 的函数。在求解运动方程过程中，出现的简写形式如下： ， 和 为 的缩写形式， 和 为 的缩写形式。算出各个连杆变换矩阵如下：
4、浮渣铲除机器人运动学方程
机器人运动学研究有两类问题：一类是给定机器人各个关节角度，要求计算机器人手爪的位置和姿态问题，称为正运动学问题；另一类是已知末端执行器的位置与姿态求机器人对于这个位姿与姿态的全部关节角，称为逆运动学问题。正问题是简单的，解是唯一的，逆问题的解是复杂的，而且具有多解性。
（Ⅰ）运动学正解
由： ， ， ， ，得出：
（1）
浮渣铲除机器人变换矩阵 ，描述了末端连杆坐标系相对基坐标系 的位姿。设末端执行器工作点位姿形式 ，因此，求出六个连杆变换之积，表示形式如下： 得出
浮渣铲除机器人变换矩阵 ，描述了末端连杆坐标系相对基坐标系的位姿。
为了校核 的正确性，令
代入式（1），得：
与图2所示的位姿情况完全一致。由此可以推断，以上建立的运动方程是正确的。
（Ⅱ）运动学逆解
在知道所有的关节变量时，可用运动学的正解确定机器人任一瞬间的位姿，也就可以知道机器人的末端执行器的位置，即杆件的位置、姿态、速度、角速度、加速度和角加速度已知，求出能实现这些要求的关节变量的位置、速度和加速度。要是期望机器人的末端放在特定的点上，并且具有特定的姿态，那么这就是逆运动学问题了。事实上，逆运动学更为重要。
运动学逆解方法可分为三类：代数法，几何法和数值解法。前两种解法的具体步骤和最终公式和机器人的具体构型有关。后一种解法是目前人们寻求位姿逆解的通解而得到的方法，由于计算量大，计算时间往往不能满足实时控制的需要。所以，浮渣铲除机器人利用代数法（反变换法）来求解浮渣铲除机器人逆运动学解。也就是用未知的连杆逆变换，左乘于方程等式两边，把关节变量分离处来，从而求解。
＝ （2）
1）求
用逆变换 左乘到方程（2）的两边，
＝
据: ＝
由矩阵方程两端的元素对应相等，得到 的解：
式中的正负号对应着 的两个可能的解。
2）求
由 和 ＝ ，矩阵方程两端的 （2、1）、（2、3）元素对应相等，求得：
＝ 或 ＝
3）求
由式 和 ＝ ，矩阵方程两端的（2、3）元素对应相等，
得到 或
4）求
由式 和 ＝ ，矩阵方程两端的 （1、4）和（3、4）元素对应相等，
得到 ＝ 或 ＝
5）求
由式式 和 ＝ ，矩阵方程两端的 （1、3）和（3、3）元素对应相等， 或
6）求
由： , 得到：
或 ，由于 已知，所以 ＝ 或 ＝
7）求
由于知道 ， 和 ，所以 可求得为： ＝ － －
至此，求出了所有的关节变量。
5、结束语
（一）通过上面的计算可知，在运动方程正解求解过程中，坐标设置时应注意以下几点：
1）使操作机处于操作的零位，由基座开始先设立固定的基础（参考）坐标系 ，其正向最好与重力加速度反向，原点在第一关节轴线上， 位于操作机工作空间的对称平面内；
2）尽量使 与 同向，原点 与 在 方向同“高”，否则关节变量 （或 ）要加初始值；
3）末端执行器坐标架的原点最好选在“手”心点上， 的正向指向（或背离）工件。
（二）对逆运动学求解进行讨论：
1） 是腰部的回转运动，与 ～ 无关，即不受其它关节的回转的影响。
2）从解的表达式中，我们可以看出， 均有两个根，所以机械臂有较多位形。这就需要进行轨迹规划，找出最优轨迹，进行控制。
（三）由逆运动学求解的过程可知，求逆解：
1）方法：等号两端的矩阵中对应元素相等。
2）步骤：利用矩阵方程进行递推，每递推一次可解一个或多于一个的变量公式。
3）技巧：利用三角方程进行置换。
4）问题：解题过程中有增根，故要根据操作机构形的可能性，选用合适的最终公式。
参考文献：
[1]（美）尼库（Sa
